歩容生成の研究

動物の四足歩行における各脚の協調動作は自然現象の 解明，多脚ロボットへの応用などの観点から興味深い研 究対象となっています．歩容生成に向けた微分方程 式を用いた数理モデルとしてリミットサイクルをもつ結 合振動子があります．結合振動子における各振動子の周期軌 道を脚のリズムに結び付けて歩容のモデルとするとき， それらの間に存在する位相差が重要となります．

スチュアート・ランダウ方程式

結合振動子

複素数 $z_i(t)$ $(i=1, \cdots, n)$ を 変数とする $n$ 個のスチュアート・ランダウ方程式の周期解の位相を各脚の往復運動に 対応づけます． 脚間には相互作用が存在するとし，それらを結合項として加えたつぎの結合振動子をこの研究における 歩容生成のモデルとします． \[ \dot{z}_1(t) = (\mu_1 + \omega_1 i) z_1(t) - (1+b_1i)|z_1(t)|^2z_1(t) + k_{1\cdot2}(z_2(t)-z_1(t)) \] \[ \dot{z}_2(t) = (\mu_2 + \omega_2 i) z_2(t) - (1+b_2i)|z_2(t)|^2z_2(t) + k_{1\cdot2}(z_1(t)-z_2(t)) + k_{2\cdot3}(z_3(t)-z_2(t)) \] \[ \vdots \] \[ \dot{z}_{n-1}(t) = (\mu_{n-1} + \omega_{n-1}i) z_{n-1}(t) - (1+b_{n-1}i)|z_{n-1}(t)|^2z_{n-1}(t) + k_{n-2\cdot n-1}(z_{n-2}(t)-z_{n-1}(t)) + k_{n-1\cdot n}(z_n(t)-z_{n-1}(t)) \] \[ \dot{z}_n(t) = (\mu_n + \omega_n i) z_n(t) - (1+b_ni)|z_n(t)|^2z_n(t) + k_{n-1\cdot n}(z_{n-1}(t)-z_n(t)) \] ここで，$\mu_i > 0$, $\omega_i$, $b_i$ $(i=1, \cdots, n)$ は実数の定数です． また，$k_{1\cdot2}$, $k_{2\cdot3}$, $k_{3\cdot4}$, $\cdots$, $k_{n-1\cdot n}$ は振動子間の 結合係数の意味をもつ 実数の定数で， \[ k_{i\cdot i+1} \neq 0, \ \ i=1, \cdots, n-1 \] を仮定します． $z_1$ を左最前列，$z_2$ を右最前列，$\cdots$, $z_{n-1}$ を左最後列，$z_n$ を右最後列に対応づけます．